Die dicke Raupe begegnet der dritten Dimension
Es war schon fast Abend, da begegnete Alice wieder ihrem Freund Caterpillar, der dicken Raupe. Caterpillar saß wie immer zufrieden rauchend auf seinem Fliegenpilz. "Ich habe Dir etwas mitgebracht", sagte Alice, "einen gläsernen Würfel!". Die dicke Raupe schwieg und paffte nur ein paar Rauchringe in die warme Abendluft. "Sieh nur, dicke Raupe, ich habe hier einen schönen dreidimensionalen Würfel - acht Ecken, zwölf Kanten und sechs Seiten."
"Was bist Du nur für ein dummes Mädchen!", dachte der Caterpillar. "Ein Würfel hat doch nur vier Ecken und vier Seiten." In seiner zweidimensionalen Welt kannte er nur Quadrate und Dreiecke sowie die vielen runden Kleckse auf seinem Fliegenpilz, auf dem er thronte. "Ich glaube Dir nicht", begann er zu sprechen, "in meiner Welt hat ein Würfel nur vier Seiten."
"Was bist Du nur für eine dumme dicke Raupe", rief Alice, sichtlich erregt. "Hier, sieh doch nur. Sechs Seiten: Eine links, eine rechts, eine vorne, eine hinten - eine oben und eine unten". Sie zeigte dabei demonstrativ auf die Wände ihres gläsernen Würfels, den sie aus dem königlichen Palast entwendet hatte. Die Raupe sah nichts. Raupen sind nämlich sehr kurzsichtig und kennen nur die Oberfläche ihres Pilzes. Caterpillars Körperhaltung glich einem Fragezeichen.
"Was ist oben? Und was ist unten?", fragte er. "Du blöder Caterpillar", sagte Alice, "jedes Kind weiß doch, daß unser Raum drei Dimensionen hat. Oben und Unten sind Begriffe der dritten Dimension! Aber mit Deinem zweidimensionalen Verstand kapierst Du das nicht", sagte sie überlegen.
Sonst war immer ihre Schwester schlauer, aber diesmal kostete Alice ihre Überlegenheit aus. Alice war ein dreidimensionales Kind, und sie wußte Bescheid. Aber diese blöde Raupe kannte nur die Oberfläche ihres Pilzes, für den Caterpillar gab es kein Oben und kein Unten. Seine Welt war zweidimensional. Seine Würfel waren Quadrate, seine Kugeln Kreise und seine Tetraeder einfache Dreiecke. Lächerlich!, mußte sie denken, was für einen beschränkten Verstand die blöde Raupe doch nur hatte.
"Ich beweise es Dir!", triumphierte Alice. Und sie hielt den gläsernen Würfel in die wärmenden Strahlen der Abendsonne. Sie hielt den Würfel so, daß sein Schatten genau auf die Oberfläche des Fliegenpilzes fiel. Da sie den Würfel gerade parallel zu den Sonnenstrahlen hielt, sah sein Schatten aus wie ein Quadrat.
"Ich sehe ein Quadrat: vier Seiten, vier Ecken!", entgegnete Caterpillar, "Na bitte!". Doch in diesem Moment begann Alice den Würfel zu drehen. "Jetzt sehe ich zwei etwas verzerrte Quadrate, deren Ecken durch Linien verbunden sind".
"Zähle die Ecken!", forderte Alice die dicke Raupe auf. "Es sind zweimal vier, also acht", gab er zu. "Zähle die Kanten!", triumphierte sie. "Es sind - warte mal - vier pro Quadrat, macht also acht, plus die vier Verbindungslinien. Also zwölf!".
Alice drehte den Würfel so weit, daß seine Raumdiagonale parallel zu den Sonnenstrahlen lag. "Und jetzt sieht der Schatten aus wie ein Sechseck, dessen Ecken mit dem Mittelpunkt verbunden sind", konstatierte Caterpillar. "Alice, Du verwirrst mich".
"Jetzt zeigt der Würfel genau mit der Spitze auf Deinen Pilz". Alice stach mit der Spitze in die weiche Haut des Fliegenpilzes. Es entstand ein dreieckiges kleines Loch.
Dies alles sah Caterpillar, und er fing an, neugierig zu werden. "Bisher habe ich nur den Schattenwurf gesehen", sagte er, "aber nun sehe ich in der Mitte ein dreieckiges Loch!". Alice bohrte den Würfel tiefer in das weiche Mark des Pilzes. Es schien dem Pilz zu gefallen, denn er duftete zufrieden. Das dreieckige Loch wurde größer. Die dicke Raupe sah, wie das Dreieck wuchs und schließlich sich in ein Sechseck verwandelte.
Alice schob den Würfel weiter. Als er langsam unter der Oberfläche des Pilzes verschwand, wurde das Loch wieder kleiner. Schließlich blickte noch eine kleine dreieckige Spitze heraus, und schon war der gläserne Würfel im Innern des großen Pilzes verschwunden.
"Ich sah in der Mitte des Schattenwurfes zunächst ein dreieckiges Loch in der Oberfläche meines Pilzes. Dieses Dreieck verwandelte sich zu einem Sechseck, und schließlich wieder zu einem Dreieck, bis es verschwand.", berichtete Caterpillar staunend. "Das ist also ein Würfel?"
"Ja!", erwiderte Alice. "Das war mein Würfel! Jetzt ist er im Pilz verschwunden!". Die Oberfläche des Pilzes hatte sich wieder zusammengezogen und sah nun wieder unversehrt aus. In diesem Moment bemerkte Alice, daß sie ihren wertvollen Würfel nicht mehr hatte und wurde wütend. Ohne ein weiteres Wort rannte sie davon.
"Mädchen sind schon komische Wesen", dachte Caterpillar und zog tief an seiner Pfeife.
Ein vierdimensionaler Kubus durchdringt unseren dreidimensionalen Raum
Der Schnittkörper von 4D-Kubus und 3D-Unterraum verändert sich im Laufe der Bewegung von einem Tetraeder zu einem Oktaeder und zurück. Seine Projektion (Schattenwurf) ist gepunktet dargestellt (siehst Du die acht Seitenwürfel?). Die Schnitte stehen senkrecht auf der Hyperraumdiagonalen.
Für einen räumlichen Eindruck muß man die beiden Stereo-Bilder überlagern - Augen parallel stellen und fokussieren. Für eine interaktive Animation auf das Video klicken.
Solid lines: Intersection of a 4D-cube with 3D-subspace in (1,1,1,1)-direction ("hypercube slices"). Dotted lines: Projection of the 4D-cube onto the 3D-subspace. This is a stereo pair: try to overlay the two images for a 3D view. Here is another animation.
Alice begegnet der vierten Dimension
Am großen Kastanienbaum wartete wieder die Grinsekatze. Freudig lief Alice auf sie zu. Doch bevor Alice die Grinsekatze streicheln konnte, verschwand die Grinsekatze wieder - ganz langsam entschwand sie Alices Raum, bis nur noch ihr Grinsen zu sehen war. "Katze, wo bist Du?" rief Alice. "Ich bin in der vierten Dimension, und ich habe Dir etwas mitgebracht", antwortete die Grinsekatze bedeutungsvoll, "Einen Würfel! Er hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Flächen und 8 Seiten".
"Ich glaube Dir nicht", entgegnete Alice, "ein Würfel hat nur 6 quadratische Seiten." Die Grinsekatze war mit der primitiven Art vertraut, mit der Menschen und besonders kleine Mädchen zu denken pflegen. Sie war daher nachsichtig und erklärte: "Hier, Alice, sieh doch nur: Ein Würfel hat acht kubische Seiten: Eine links, eine rechts, eine vorn, eine hinten, eine unten, eine oben - eine präsig und eine postig."
"Was ist denn präsig und postig?", fragte Alice. "Das sind Begriffe der vierten Dimension", sagte die Grinsekatze bescheiden. "Ich zeig es Dir!". Und sie hielt ihren Würfel in die vierdimensionalen Strahlen der vierdimensionalen Abendsonne. Sie warfen in der Hyperebene, in der sich Alice befand (Alice sagte dazu schlicht "Raum"), einen wunderschönen Schatten.
"Ich sehe einen Würfel", sagte Alice. Da begann die Grinsekatze den Würfel zu drehen, und der Schattenwurf vollzog lustige Tänze. "Jetzt sehe sich zwei verzerrte Würfel, die an ihren Ecken miteinander verbunden sind".
Schließlich drehte die Grinsekatze ihren Würfel so, daß ihn die Sonnenstrahlen parallel zur Raumdiagonale durchdrangen. Der Schatten war zu einem merkwürdig schönen Gebilde geworden, das Alices Lehrerin gerne auch als "Rhombendodekaeder" bezeichnen würde. "Ich sehe einen zwölfseitigen lustigen Körper. Einige seiner Ecken sind mit dem Mittelpunkt verbunden", berichtete Alice. Nun stach die Katze den Würfel mit der Spitze in Alices Raum, und Alice sah ein kleines Loch in der Luft. Es hatte die Form eines Tetraeders. "Was ist denn das?" fragte Alice, "Du verwirrst mich".
"Ich schiebe meinen Würfel durch Deinen Raum hindurch", sagte die Grinsekatze, "und zwar von präsig nach postig". Das Loch in der Luft wurde immer größer, und Alice sah einen Tetraeder, der sich schließlich in einen Oktader (eine Doppelpyramide) verwandelte, bis er schließlich wieder als Tetraeder verschwand. (s. Animation)
"Wo ist denn jetzt der Würfel?" fragte Alice. "Natürlich postig, ich sitze ja schließlich hier präsig neben deinem Raum und habe meinen Würfel eben durch den Raum hindurchgeschoben".
Alice verstand gar nichts mehr. Da trat die Grinsekatze wieder hervor, und Alice konnte sie wieder sehen. "Und nun zeige ich Dir, wie es aussieht, wenn ich meinen Würfel drehe", sagte die Katze.
Quelle:
http://cips02.physik.uni-bonn.de/ScienceSite/index.html
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Wurde nicht auch beim 
